لاسلو کوبالا در تاریخ ۱۰ ژوئن ۱۹۲۷ در بوداپست به دنیا آمد. مادرش «آنا استچ» کارگر کارخانه بود و ریشه‌های لهستانی، اسلواکی و مجارستانی داشت، در حالی که پدرش «پال کوبالا کورخاس» بنا بود و به اقلیت اسلواکی مجارستان تعلق داشت. کوبالا خود را «چندملیتی» توصیف می‌کند. او کار خود را با تیم Ganz TE، یک تیم کارخانه‌ای که در دسته سوم مجارستان بازی می‌کرد، آغاز کرد. او در ۱۱ سالگی با بازیکنان دیگری که سه تا پنج سال بزرگتر بودند در تیم بازی می‌کرد. در ۱۸ سالگی با Ferencvárosi TC قرارداد امضا کرد که در آنجا هم‌تیمی ساندور کاکسیس بود. در سال ۱۹۴۶، کوبالا به چکسلواکی نقل مکان کرد (برای اجتناب از خدمت سربازی)، و به اسلوان براتیسلاوا پیوست. در سال ۱۹۴۷ با آنا ویولا دائوچیکووا، خواهر مربی تیم ملی چکسلواکی فردیناند دائوچیک، ازدواج کرد. در سال ۱۹۴۸، کوبالا به مجارستان بازگشت، (باز هم گفته می‌شود برای اجتناب از خدمت سربازی) و به وساس اس‌سی پیوست.

در ژانویه ۱۹۴۹، زمانی که مجارستان توسط اتحاد جماهیر شوروی اشغال شد، کوبالا در پشت یک کامیون از کشور فرار کرد. در ابتدا به اتریش و سپس به ایتالیا رفت و در آنجا مدت کوتاهی برای پرو پاتریا بازی کرد. در ماه مِی ۱۹۴۹، او همچنین موافقت کرد که برای تورینو در مراسمی مقابل بنفیکا بازی کند، اما پس از مریض شدن پسرش از این تیم کنار کشید. در راه بازگشت از لیسبون، هواپیمای حامل تیم تورینو به تپه‌های سوپرگا سقوط کرد و تمام ۳۱ سرنشین آن کشته شدند.

در همین حال، فدراسیون فوتبال مجارستان کوبالا را به نقض قرارداد، ترک کشور بدون مجوز و عدم انجام خدمت سربازی متهم کرد. فیفا از آنها حمایت کرد و یک سال محرومیت ملی را اعمال کرد. در ژانویه ۱۹۵۰، کوبالا با مربیگری فردیناند داوچیک، تیم مجارستانی خود را تشکیل داد که متشکل از پناهندگانی بود که از اروپای شرقی فرار می‌کردند. در تابستان ۱۹۵۰ تیم وارد اسپانیا شد تا یک سری بازی دوستانه را با تیم منتخب مادرید، تیم منتخب اسپانیا و اسپانیول انجام دهد. در طول این بازی‌ها، کوبالا هم توسط رئال مادرید و هم خوزه سامیتیر، مدیر بارسلونا، مشاهده شد. رئال به کوبالا پیشنهاد قرارداد داد اما سامیتیر او را مجاب کرد تا به بارسلونا بپیوندد. سامیتیر از ارتباطات خود در دولت فرانسیسکو فرانکو برای کمک به ترتیب انتقال استفاده کرد. دولت فرانکو می‌خواست از وضعیت کوبالا به عنوان پناهنده از یکی از کشورهای تحت سلطه اتحاد جماهیر شوروی برای تقویت اعتبار رژیم استفاده کند و بدین ترتیب به کوبالا کمک کرد تا بدون تاخیر تابعیت اسپانیا را دریافت کند.

کوبالا برای سه تیم ملی چکسلواکی، مجارستان و اسپانیا بازی کرد. زمانی که با تیم اسلوان براتیسلاوا بازی می‌کرد، در ۶ بازی بین سال‌های ۱۹۴۶ تا ۱۹۴۷ برای چکسلواکی حضور یافت و چهار گل به ثمر رساند. پس از بازگشت به بوداپست در سال ۱۹۴۸، سه بازی برای مجارستان انجام داد اما موفق به گلزنی نشد. پس از پذیرفتن ملیت اسپانیایی، ۱۹ بار بین سال‌های ۱۹۵۳ تا ۱۹۶۱ برای اسپانیا بازی کرد و ۱۱ گل به ثمر رساند. نقطه برجسته دوران حرفه‌ای ملی او هت‌تریک برای اسپانیا در برابر ترکیه در پیروزی ۳-۰ در نوامبر ۱۹۵۷ بود.

کوبالا علاوه بر بازی برای سه تیم ملی، برای هر دو تیم منتخب اروپا و منتخب کاتالان بازی کرد. در ۲۱ اکتبر ۱۹۵۳، انگلیس در ورزشگاه ومبلی برای جشن ۹۰مین سالگرد اتحادیه فوتبال، با تیم منتخب اروپا بازی کرد و کوبالا در تساوی ۴-۴ دو گل به ثمر رساند. او همچنین چهار بازی برای منتخب کاتالان انجام داد و ۴ بار گلزنی کرد. در ۲۶ ژانویه ۱۹۵۵، در بازی مقابل بولونیا بازیکن مهمان آلفردو دی‌استفانو به او پیوست. منتخب کاتالان با دو گل کوبالا و یک گل دی‌استفانو با نتیجه ۶–۲ پیروز شد.

کوبالا در ۱۷ می ۲۰۰۲ در ۷۴ سالگی از دنیا رفت.